Mathematik ist die Sprache der exakten Wissenschaften, allerdings auch die der ganz und gar nicht exakten Spekulanten. Für viele Menschen ist und bleibt sie rätselhaft. Zumal sie sich durchaus mit Grenzen beschäftigt, bezeichnen wir sie einfach mal als eine »Grenzwissenschaft« …

 

Apollonius PergaeusApollonius Pergaeus beschäftigte sich schon 200 Jahre vor unserer Zeitrechnung mit Grenzwerten

Mathematik und Realität

»Wieviel ist das in Zahlen ausgedrückt?«, »da muss man eben 1 und 1 zusammen­zählen« – solche Metaphern kennen wir zuhauf. Man kann glatt den Eindruck haben, dass Zahlen alles vereinfachen. Ein Irrtum.

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Zahlen, Axiome, Werte

Was sind Zahlen überhaupt?

Zahlen sind erst einmal eine künstlich geschaffene Konvention. Sie haben ein paar Eigenschaften, auf das wir dann ein logisches Modell aufbauen. Diese Grundeigenschaften der Zahlen wie auch des gesamten mathematischen Konstrukts sind sinnvoll, jedoch willkürlich festgelegt und entziehen sich somit jeder Beweis- oder Widerlegbarkeit. Man spricht hier von einem Axiom und meint damit genau genommen eine Spielregel.

Axiome

Die Spielregeln der Mathematik sind erst einmal furchtbar einfach: Der Abstabd zwischen zwei ganzen Zahlen ist immer gleich groß, die Addition vermehrt die Zahlen linear, die Multiplikation vermehrt die Zahlen quadratisch, die Umkehrfunktionen tun das Gegenteil und heißen Subtraktion bzw. Division. Es gibt keinen höchsten positiven bzw. negativen Zahlenwert. Die Zahlen 0, 1 und 2 sind vorgegeben. Die 0 entspricht einer nicht existenten Anzahl, die 1 der kleinsten nicht unterteilbaren Anzahl, die 2 dem Doppelten der 1, und jede weitere Zahl der im 1 erhöhten Vorgängerzahl. Auf solchen einfachen Grundregeln leiten sich alle anderen Sätze oder Theoreme der Mathematik ab.

Zahlen- und Wertemenge

Es gibt unendlich viele Zahlen; jede ganze Zahl (n) hat einen Nachfolger (n+1). Doch sind nicht alle Werte sinnvoll: Wenn wir die Asse eines Kartenspiels abzählen, brauchen wir nur die Zahlen eins bis vier – die Wertemenge der Asse des Kartenspiels ist [1..4]. Auch scheinbar unendlich große Mengen sind in Wirklichkeit begrenzt, z.B. die Anzahl der Quanten im Universum.

Wir können die Gesamtzahl aller Quanten im Universum vielleicht nicht genau bestimmen, aber immerhin bennennen, z.B. mit n[q]. Erhöhen wir diese Zahl, erhalten wir den Wert n[q]+1 usw. Unabhängig von der Existenz eines realen Gegenwertes gehen uns die Zahlen niemals aus, sie sind also rein abstrakt. Zahlen alleine bedeuten auch nichts, sie stellen nur die Anzahl, also eine Eigenschaft bestimmter Dinge fest, etwa 17 Cent (wenig Geld), 17 Millionen Euro (viel Geld) oder 17 irdische Kontinente (ein sinnloser Wert, da es so viele Kontinente nicht gibt).

Millionen, Milliarden, Phantastillionen

Gehen wir von etwas sehr leichtem aus, z.B. einer Alu-Münze, etwa einem DDR-Pfennig. Er wiegt ungefähr 1 Gramm. Eine Liter Wasser wiegt das 1000-fache. Schon diese Relation fällt uns schwer abzuschätzen. Ein nicht ganz winziger Kleinwagen, z.B. ein Dacia Logan, wiegt ca. 1 Tonne oder eine Million Alu-Münzen – nur als Beispiel, wie viel eine Million ist. Fast schon unvorstellbar. Jetzt schauen wir uns einen voll beladenen ICE an, bestehend aus zwei gekoppelten Triebzügen der Bauart 411 (ICE-T/lang, jeweils 7-teilig). Er wiegt ziemlich genau 1000 Tonnen oder so viel wie eine Milliarde DDR-Pfennige.

Da solche Zahlen so wenig anschaulich sind, genehmigen Politiker eher 200 Milliarden für irgend etwas das bumm macht als 750 Euro für eine neue Aufweck-Anlage im Plenarsaal. 750 klingt eben nach mehr als 200. Mathematiker, Wissenschaftler und Taschenrechner lassen Wörter wie »Milliarde« lieber weg (zumal die Begriffe international nicht einheitlich verwendet werden – unsere Milliarde ist eine »billion« in den USA) und notieren die Zahl der »Nullen« als Exponent, also 1*10^9 oder 1E9. Damit kann man gut rechnen, auch in weit größeren Maßstäben. So besteht 1 Gramm Kohlenstoff aus 5E22 (50 Trilliarden) Atomen. Wie viel eine Phantastillion ist, ist selbst unter Duck-Kennern umstritten.

 

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Endlichkeit und Unendlichkeit

Endlichkeit

Der FC Saltkrokan hat im Schnitt 1000 Zuschauer pro Spiel, die jeweils 10 Kronen Eintritt zahlen. Bei 15 Heimspielen pro Saison verzeichnet der Kassenwart also 150000 Kronen. Nun fehlen aber wegen widriger Umstände 1000 Kronen in der Bilanz. Er appelliert also an die Fans, viermal pro Saison einen Freund zu überreden, mit zum Spiel zu kommen. Er sagt, wenn nur jeder 5. dabei mitmacht, dann verkaufen wir 200 Karten mehr und erlösen 2000 Kronen, also das Doppelte des Fehlbetrages. Was passiert? Geht die Rechnung auf?

Nein. Die Fans haben alle nur Freunde, die entweder sowieso immer oder niemals zum FCS gehen. Es wird nicht eine Karte mehr verkauft.

Dabei gibt es gar keinen Rechenfehler, mathematisch stimmt alles. Es gibt nur keine weiteren Interessenten für das Angebot; für zehn Kronen kauft sowieso schon jeder eine Karte, der sich für den FCS interessiert. Die reale Anzahl potenzieller Käufer ist vielleicht unbekannt, aber durchaus begrenzt.

Manche Mathematiker mögen die Terminologie der Mengenlehre. Sie sprechen von der Grundmenge potentieller Interessenten als Obermenge der Wertemenge tatsächlicher Käufer.

Mathematik bildet die Realität ab; nicht umgekehrt: So hat keineswegs jedes richtige Rechenergebnis auch ein Pendant in der Realität.

Unendlichkeit

Wir kennen wohl alle die Geschichte mit dem Schachbrett und den Reiskörnern. Hamid, wohl ein Vorfahre moderner Futures-Händler, sollte vom König für die Erklärung des Schachspiels belohnt werden. Er wünschte sich einReiskorn auf das erste Feld des Bretts, zwei auf das zweite, und jeweils die doppelte Anzahl auf das nächst folgende der 64 Felder. Der Konig war zwar ärgerlich, dass Hamid ihn offensichtlich für einen Geizhals oder Habenichts hielt, ging jedoch auf den Handel ein.

Überrascht stellten der König dann fest, dass der erste 100-kg-Reissack schon für das 23. Feld nicht mehr reichte – bis hierhin hatte Hamid bereits über 4 Millionen Reiskörner oder 85 kg Reis (ca. 50 Körner wiegen 1 Gramm) erhalten.

Die gesamte geschuldete Reismenge betrug, wie der Mathematiker ausrechnen kann, (2^64)-1 bzw. 18 mal 10 hoch 18 oder 18 Milliarden Milliarden Körner. Dies entspricht knapp 370 Milliarden metrische Tonnen Reis – etwa das 1000-fache der weltweiten Reisernte von 2000.

Der König hält Hamids Fähigkeit, die wahren Kosten eines Geschäftes zu verschleiern, für Weisheit und macht ihn zu seinem Berater. Man hat nie wieder etwas von dem König und seinem Reich gehört.

Was steckt dahinter? Ganz einfach – die überschaubare Menge von 64 Feldern täuscht. Es handelt sich nicht um die Addition von immer nur ein paar Körnern mehr, sondern um 64 Quadraturen, eine zunehmend steil steigende Kurve. Sehr schnell gehen dabei die Werte ins Uferlose, oder wie der Mathematiker sagt, gegen Unendlich.

 

Die Unendlichkeit der Zahlenmenge birgt eine der größten Fehlerquellen. Wenn wir Dinge abzählen, die endlich sind, müssen wir immer wieder die Sinnfrage stellen. Gerade in der Finanzmathematik unterbleibt dies allzu oft. So gibt es derzeit weit mehr Gold auf dem Papier (und somit im Handel) als in der Realität.

 

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Zahlen, Konvergenz, Divergenz und Geld

Kalkulation

Kalkulation ist ein geschraubtes Wort dafür, dass man berechnet, wie ein bestimmtes System oder ein bestimmter Ablauf funktioniert. Vor allem ist dabei interessant, ob Zahlenwerte sich einer Grenze annähern oder sich ins Uferlose entwickeln, etwa so wie bei der Geschichte mit dem Reis span class="hgi">(s.o.).

Im Anhang gibt es eine Gegenüberstellung von Funktionen, wie der Mathematiker sagen würde, also von Modellen, die zu unterschiedlichen Ergebnissen führen: Zu einer Grenze, die nicht überschritten wird, ins Uferlose tendierend, oder auch klar und und sofort exakt fassbar.

Besonders interessant ist im Lichte der aktuellen Finanzkrise (2009) das Beispiel 2: Das Zins-Zinseszins-System ist ein inflationäres Modell, das einem unendlichen Grenzwert zustrebt. Die Kurve steigt erst relativ langsam, dann immer stärker an. Theoretisch wachsen also Guthaben und Schulden ins Unermessliche – und damit auch die Geldmenge, womit der Geldwert dann gegen Null sinkt. Das will natürlich niemand, auch keine Bank.

Wie das anders gehen könnte, und noch dazu genau berechenbar, zeigt Beispiel drei.

Folglich muss man einerseits dem Kunden, dessen Geld man will, vom unbegrenzten Gewinn erzählen, andererseits aber dafür sorgen, dass der Kunde doch Verlust macht. Das kann bis zur kompletten Entwertung von Anlage-Objektklassen führen, wie etwa zum US-Immobilien-Crash mit anschließender weltweiter Finanzkrise.

Das Zinssystem ist keineswegs »die Wurzel allen Übels«.

Gäbe es *eine* Wurzel allen Übels, hätte man sie schon längst beseitigt. So einfach ist die Welt jedoch nicht.

Es gibt kein Beispiel für eine vereinfachende Ideologie, die etwas getaugt hätte, nicht eines.

»Denke selbst, und stelle die Erkenntnis über alle anderen Werte«

Es gibt am Zins-Zinseszins-System genug Kritik zu üben. Dieses Thema wollen wir nicht jenen populistischen Demagogen überlassen, die es nur peripher dazu nutzen, um ganz andere Inhalte zu transportieren.

Der Haupt-Kritikpunkt ist, dass durch Zins und Zinseszins Vermögen exponentiell steigen, und Schulden erst recht (bei 20 Prozent Kreditkarten-Überziehungszinsen wird die Kurve entsprechend schneller immer steiler). Dies führt zu einem stetigen Umverteilungsprozess von unten nach oben. Die Banken als Netto-Zinsgewinner gehören dabei in die Kategorie »oben«.

So kommt es, dass in der Hoffnung auf Traum-Zinsgewinne (und entsprechende Provisionen) irreale Geschäfte abgeschlossen werden, die einerseits die virtuelle Geldmenge unkontrollierbar erhöhen und andererseits irgendwann nicht mehr bedient werden können. Also ganz ähnlich wie bei der Reis-Wette.

Einzelheiten dazu sind jeweils Extra-Themen; das hat mit Mathematik nichts mehr zu tun.

 

Fazit: Unter Kalkulation versteht man letztendlich ein Modell für die Wirklichkeit. Dabei neigt jeder dazu, das Modell so aussehen zu lassen, wie es ihm am besten gefällt, oder wie er will, dass andere Leute es sehen sollen.

Auch die Mathematik ist wahlweise als Mittel zur Wahrheit oder als Mittel zur Lüge einsetzbar. Der Realität ist das egal – sie gab es schon, bevor es die Mathematik gab …

 

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Beispiel - konvergierende, divergierende, lineare und equivalente Systeme

Beispiel 1: die Summe der Hälften – ein konvergierendes System

Ich habe ganz viele Flaschen mit einer Flüssigkeit, die ich bei einer Sammelstelle abgeben muss. Ich stelle fest, dass jede Flasche halb so viel enthält wie ihr Vorgänger, und dass die erste Flasche 5 Liter fasst. Wenn ich alles zusammenschütte, kann ich das dann noch transportieren, oder ist das auch so eine Reiskorn-Geschichte? Hier ist die Lösung einfach:

Es sind genau zehn Liter.

Lösungsweg, hier für ›Apple‹-Fans: Teile ich z.B. einen Apfel mittig, dann eine Hälfte wieder und so weiter, dann erhalte ich die Folge 1 … 1/2 … 1/4 … 1/8 … 1/16 usw., genau wie bei der Sache mit den Flaschen. Die Summe aller immer kleineren Teile ist 1, weil ich von einem Apfel ausgehe.

Somit ist der Gesamtinhalt aller Flaschen ab der zweiten genau so groß wie der Inhalt der ersten.

Das System konvergiert, d.h. die Summe nähert sich einem Wert immer weiter an, ohne ihn zu übersteigen.

 

Beispiel 2: »Joseph Penny« – ein divergierendes System

Joseph hat Jesus zur Taufe ein Postsparbuch geschenkt mit einem Sesterz Guthaben, zu 2 Prozent Zisen.. Für einen Sesterz bekam man damals 1/2 Liter Tafelwein, wir können also 1:1 auf den Euro umrechnen. Jesus hat sich nichts aus Geld gemacht, also liegt das Sparbuch auch heute noch irgendwo rum. Wieviel ist es wohl heute wert? Zwei Prozent sind ja nicht viel … andererseits sind 2000 Jahre eine lange Zeit …

Ok, hier das Ergebnis: Es sind über 150 Millionen Milliarden (150 E+15). Wie kommt das? Durch den Zins auf die Grundeinlage plus zur Einlage umgewandelte Zinsen aus den Vorjahren multipliziert sich der Betrag auf dem Konto jährlich mit dem Faktor 1,02.

Das klingt zwar nicht nach viel, ist aber eine Mulitiplikation und somit nicht-linear, d.h. es handelt sich um eine Kurve mit ständig wachsender Steigung, ganz ähnlich wie bei der Reiskorn-Sache. Das hätte sich die Postbank Jericho besser überlegen sollen: Sie wird das Zins-Versprechen niemals einlösen können.

Hier spricht man von einem divergierenden System, d.h. der Wert tendiert ins Uferlose.

 

Beispiel 3: Verzinsung ohne Zinseszins – ein lineares System

Nehmen wir die gleiche Situation wie bei Beispiel 2, nur mit dem Unterschied, dass die Zinsen ausbezahlt werden oder auf ein Giro-Konto kommen und nicht weiter mitverzinst werden. Wie sieht die Rechnung dann aus?

Relativ einfach: Es gibt pro Jahr genau 2 Cent Zinsertrag auf die Einlage von 1 Euro; in 2000 Jahren ergibt das genau 40 Euro.

Mit dem Ausschluss von Zinseszins bleibt die Funktion linear ansteigend, aber es findet eben keine grenzenlose Vermehrung virtueller Währung statt.

 

Beispiel 4: Tausch »A gegen B« – ein fairer Handel

Anna, die Bauerstochter, möchte Hühner zum Markt bringen, kann aber den Zug nicht bezahlen. Sie geht zu ihrer Kirchenchor-Freundin Elvira, die aus etwas besserem Hause kommt, und schnorrt sich das Fahrgeld. Als Gegenleistung verspricht sie, ihr ein Romanheft mitzubringen. Das kann sie sich vom Erlös locker leisten. Elvira ist einverstanden, das Geschäft kommt zustande, und beide haben etwas davon.

Solche Kalkulationen kann jeder ausführen, dazu braucht man keinen Mathematiker oder Banker: Für Leistung 'a' gibt es Gegenleistung 'b'. Solche Geschäfte sind unmodern geworden, und deswegen haben wir heute Banker, Mathematiker, Programmierer und Computer-Händler, die wir völlig unnütz mit durchfüttern müssen …